VIII тарау. Белгілі хорда бойынша жарты доға хордасының шамасын анықтау туралы

ABCD - жарты шеңбер болсын, AD - оның диаметрі. AC хордасын қарастырайық. AC доғасын B-да қақ бөлейік; A мен B-ны, B мен C-ны қосайық (29-сурет). Мен AB белгілі деп тұжырымдаймын.

Сурет 29-Белгілі хорда бойынша жарты доға хордасының шамасы

Осының дәлелдеуі. C мен D-ны қосайық және CD-ға тең DG-ды қалдырайық; B мен D-ны, B мен G-ды қосайық, AG-ға перпендикуляр BE-ны жүргізейік. CD DG-ға тең, ал DB - жалпы болғандықтан, CD мен DB [бірге] GD мен DB-ға тең; GDB бұрышы BDC бұрышына тең, себебі олар тең доғаларда орналасқан; демек, BC табаны BG табанына тең болады. Бірақ AB BC-ға тең; сондықтан AB BG-ға тең. ABG үшбұрышы теңбүйірлі, және егер ABD бұрышынан BE перпендикуляры түсірілген болса, онда AE EG-ға тең. ABD үшбұрышы тікбұрышты болғандықтан және тікбұрыштан перпендикуляр түсірілгендіктен, ABD және ABE үшбұрыштары ұқсас үшбұрыштар; демек, DA AB-ға BA-ның AE-ге қатысты болғанындай қатысты. Сондықтан DA-ның AB-ға көбейтіндісі BA-ның квадратына тең; бірақ DA мен AE сызықтарының әрбірі белгілі; сондықтан AB-ның квадраты және одан  алынған түбір белгілі, яғни AB хордасы белгілі. Бұл біздің дәлелдегіміз келгені.