Геометриялық фигуралардың жұмбақтары жайлы рухани айлалы тәсілдер мен табиғи сырлар кітабына

¹«Геометриялық фигуралардың жұмбақтары жайлы рухани айлалы тәсілдер мен табиғи сырлар кітабы» (Китап ал–хийал ар–руханййа ва–л–асрар ат–таб’иййа фи дакаик ал–ашкал ал–хандасиййа) Упсала (Торнберг, 324) университетінің кітапханасындағы қолжазбадан аударылған. Басқа қолжазбалар табылмады. Бұл трактаттың мазмұнын құрастырған А. Көбесов (А.Көбесов. Фәрәбидің геометриялық трактаты, «Білім және еңбек», Алматы, 1969, №7).

Әл Фәрәбидің бұл еңбегі 10 кітапшадан тұрады, бұның барлығы дерлік кейінірек Абу–л–Вафы әл–Бузджанидің (940–998) «Геометриялық салулардан қолөнершіге не қажеттігі туралы кітап» («Шығыс мемлекеттерінің физика – математикалық ғылымдары»,  І басылым (IV). М.,1966, 56–130 бет. қараңыз). атты трактатына енген. Әл Фәрәбидің І кітапшасы Абу–л–Вафының ІІ бөлімінің екінші жартысын құрайды,  II–IX кітапшалары толығымен Абу–л–Вафының II–X тарауларымен сәйкес келеді, X кітапшасы Абу–л–Вафының XI тарауының бірінші жартысын құрайды.

² Ислам мемлекеттері ғалымдары шығармаларының басы дәстүрлі түрде ол заманда Алланы және Мұхамед пайғамбарды еске алмастан ешқандай шығарма туындауы мүмкін емес болатын.

³ Ғылымдарды атап шығу мәселелеріне әл Фәрәбидің «Ғылымдарды атап шығу» трактаты арналған (осы жинақтың 15–51 беттерін қараңыз).

⁴ Әл Фәрәбише «Айлалы тәсілдер» бұл– математиканың практикада,  басқа ғылымдар мен өнерде қолданылу мәселелері қарастырылатын математиканың ерекше тарауы («Ғылымдарды атап шығу» математикалық тараудағы 47- ескертпені қараңыз).

⁵ «Центрдің бөліктері жайында» (фи аксам ал–марказ) тақырыбы, бәлкім, қандай да бір мәтіннің бұрмалануы болуы мүмкін.

⁶ Дөңгелектің центрін анықтауға арналған тапсырмалар қолжазбада жоқ, бірақ Абу–л–Вафының көрсетілген трактатында бар.

⁷ Евклид «Бастамалары» III кітабындағы 25–тұжырымның салынуына сәйкес келеді (Евклид. «Начала», т.1. 105–бет).

⁸ Евклид «Бастамалары» III кітабындағы 17– тұжырымның салынуына сәйкес келеді (т.1, 99–бет).

⁹ Әл Фәрәби бұл жерде сызғыш пен ашасы тұрақты циркуль арқылы дөңгелектің берілген нүктесіне жанама салудың әдісін баяндап отыр.

¹⁰ Евклид «Бастамалары» III кітабындағы 16– тұжырымның салынуына сәйкес келеді (т.1, 97–бет).

¹¹ Салудың дұрыстығы Евклид «Бастамалары» I кітабындағы 34–тұжырымнан шығады (т.1, 45–бет).

¹² Салудың дұрыстығы Евклид «Бастамалары» I кітабындағы 29 және 6 – тұжырымдардан шығады (т.1, 41 және 20–бет).

¹³ Салудың дұрыстығы BEKG фигурасының параллелограмм екендігінен және алдыңғы тұжырымдардан шығады.

¹⁴ Шын мәнінде Евклид «Бастамалары» кітабының  22–тұжырымымен бірдей (т.1, 34–бет).

¹⁵ Салудың дұрыстығы теңқабырғалы үшбұрыштың әрбір бұрышы тікбұрыштың үштен екісіне тең екендігінен шығады.

¹⁶ Шын мәнінде Архимедтің «Леммалар кітабындағы» 8–тұжырымның салынуымен бірдей (Архимед. Шығармалар, аударған Веселовский И.Н., араб мәтінінен аударған Розенфельд Б.А., 1962, 395–бет).

¹⁷ Бұл салу да «ендірмені» қолдануға негізделген.

¹⁸ Салудың дұрыстығы Евклид «Бастамаларының» III кітабының 26–тұжырымнан шығады (т.1, 106–бет).

¹⁹ Геронның «Механикасындағы» салумен бірдей (Архимед. Шығармалар, 161–бет).

²⁰ «Өртегіш айна» – парабола, «зат жанатын жерге дейінгі қашықтық» - фокустық қашықтық.
Әл Фәрәби лекалоны сызғыш, яғни «мастара» деген сөзбен атаған.

²¹ Мұнда «Өртегіш айна» – параболаны жасаудың басқа бір тәсілі келтірілген.

²² Евклид «Бастамалары» I кітабының 46–тұжырымның салынумен бірдей (І т., 15–бет).

²³ Евклид «Бастамалары» I кітабының 46– тұжырымның салынумен бірдей (І т., 57–бет).

²⁴ Евклидте берілген қабырғасы бойынша дұрыс бесбұрыш салу жоқ. Әл Фәрәбидің салуының дұрыстығы «Бастамалардың» II кітабындағы сызықтарды орта және шеткі қатынастарға бөлу туралы 2–тұжырымнан (I т., 75–бет) және Евклид «Бастамаларының» IV кітабында табанындағы бұрышы 72^о, ал төбесіндегі бұрышы 36^о болатын тең бүйірлі үшбұрыш салу туралы 10 – тұжырымнан (т. I, 132–бет) шығады.

²⁵ Бұл да сызғыш пен ашасы тұрақты берілген қабырғаға тең циркуль арқылы салу болып табылады.

²⁶ Евклидте берілген қабырғасы бойынша дұрыс алты бұрыш салу жоқ. Әл Фәрәбидің салуы Евклидтің теңқабырғалы үшбұрыш салуына сүйенген.

²⁷ Дұрыс жетібұрыштың қабырғасының мәні мыңдық дәлдікке дейін сырттай сызылған дөңгелек радиусының 0,868–не тең, әл–Фәрәбидің салуы 0,866–радиусқа  тең кесіндіні береді. Бұл жуық мән Геронның «Метрикасында» бар (Hero Alexandrinus, Rationes dimetiendi (Vermessungslehге), herausg undubers. H. Sehone,–»Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia», Bd. III. Leipzig, 1907, S. 1–185, S. 55.). Мұнда әл Фәрәби өзінің салуының жуық сипатта екенін айтпаған, бірақ ол төменде осыған ұқсас дөңгелекке іштей сызылған жетібұрышты салу кезінде айтқан (41–ескертпені қараңыз).

²⁸ Евклидте берілген қабырғасы бойынша дұрыс сегізбұрышты салу жоқ. Әл Фәрәбидің салуы гипотенузасы берілген қабырғаға тең, теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыштарды салуға келтіріледі.

²⁹ Мұнда да сызғыш пен ашасы тұрақты берілген қабырғаға тең циркуль арқылы шешілетін есеп.

³⁰ Евклидте берілген қабырғасы бойынша дұрыс тоғызбұрыш салу жоқ, дұрыс тоғызбұрыштың қабырғасы циркуль мен сызғыш арқылы дәл салынуы мүмкін емес. Бұл тұста әл Фәрәби өзінің салуының жуық сипатын айтпайды.

³¹ Евклидте берілген қабырғасы бойынша дұрыс онбұрыш салу жоқ. Әл Фәрәбидің салуы радиуспен берілген қабырғаны  орта және шеткі қатынастарға бөлу кезінде үлкен кесінді болып табылатын сырттай сызылған дөңгелектің сол радиусын салуға келтіріледі, бұл Евклид «Бастамаларының» XIII кітабындағы 9–тұжырымнан шығады. (т. IІІ, 114–бет).

³² Мұнда да сызғыш пен ашасы тұрақты берілген қабырғаға тең циркуль арқылы шешілетін есеп.

³³ Мұнда әл Фәрәби қолөнершілер өнерлерінің геометриялық негіздері туралы тағы да еске салады.

³⁴ Бұл есеп Евклид «Бастамаларының» IV кітабындағы теңқабырғалы үшбұрыштарға арналған 2–тұжырымының дербес жағдайы болып табылады. Әл Фәрәби салуы Евклид «Бастамаларының» іштей сызылған дұрыс алтыбұрышты салу туралы IV кітабының 15–тұжырымына сүйенген (т. I, 138 бет).

³⁵ Бұл Евклид «Бастамаларының» IV кітабындағы теңқабырғалы үшбұрыштар үшін 3–тұжырымдағы есептің дербес жағдайы болып табылады (т. I, 124–бет).

³⁶ Евклид «Бастамаларының» IV кітабындағы 6–тұжырымды салумен бірдей (т. I, 128–бет).

³⁷ Мұнда тағы да сол есеп сызғыш және дөңгелектің радиусына тең тұрақты ашалы циркульмен шешіледі. Әрі қарай осы есептің сызғыш пен ашасы бұрынғыдай циркульмен шешілетін тағы да үш шешімі келтіріледі.

³⁸ Шын мәнінде Евклид «Бастамаларының» IV кітабындағы 2–тұжырымының салуымен бірдей (т. I, 133– бет). Әл Фәрәбидің аталмыш салуы және оның дұрыстығының дәлелдеуі Птоломейдің «Алмагест» (Ptolemaus, Handbuch der Astronomie, 25–бет) I кітабындағы 1–тұжырымында бар.

³⁹ Мұнда тағы да сол есеп сызғыш және дөңгелектің радиусына тең тұрақты ашалы циркульмен шешіледі. Әрі қарай сол есептің тағы бір шешімі келтірілген.

⁴⁰ Евклид «Бастамаларының» IV кітабындағы 15–тұжырымды салумен бірдей (т.І, 138–бет).

⁴¹ Мұнда әл Фәрәби өзі салған доғаның - дөңгелектің жетіден бірінің дәл емес, ал жуық екендігін атап өтеді.

⁴² Мұнда іштей сызылған дұрыс онбұрышты салудың нақты екі әдісі келтірілген.

⁴³ Евклид «Бастамаларының» IV кітабындағы 5–тұжырымды (т.І, 126–бет) салумен бірдей. Ары қарай осы есептің тағы бір шешімі келтірілген.

⁴⁴ Евклид «Бастамаларының» IV кітабындағы 9–тұжырымды (т.І, 131–бет) салумен бірдей.

⁴⁵ Есеп Евклид «Бастамаларының» IV кітабындағы 14– тұжырыммен бірдей (т.І, 138–бет), бірақ  Евклид сияқты, сырттай сызылған дөңгелектің центрі екі биссектрисаның қиылысуынан табудан өзгеше, әл Фәрәби оны қабырғалардың ортасына тұрғызылған екі перпендикулярдың қиылысуынан табады.

⁴⁶ Салу іштей сызылған дұрыс көпбұрыштың қабырғасы дөңгелектің радиусына тең деген дерекке  сүйенген.

⁴⁷ Евклид «Бастамаларының» IV кітабындағы 4–тұжырымды салумен бірдей (т.І, 125–бет).

⁴⁸ Мұнда төрт төбесі шаршының қабырғаларында, ал бесінші төбесі шаршының диагоналында болатындай бесбұрышқа сырттай сызылған шаршыны салу және осылайша шаршыға іштей дұрыс бесбұрыш салу келтірілген. Екінші салу, қабырғасы осы шаршының қабырғасына QR тузуі MN қабырғасының ортасынан өтетіндей қатынаста болатын бесбұрыш салынатындығынан тұрады; бесбұрышқа сырттай сызылған шаршы салынады да, ізделініп отырған бесбұрыш салынған бесбұрыштан оның қабырғаларын сол қатынаста созу арқылы алынады.

⁴⁹ Мұнда берілген үшбұрыштан көрсетілген сан рет үлкен не кіші үшбұрыштар салу келтірілген. Салынатын үшбұрыш берілгенге ұқсас болатын бірінші және үшінші жағдайларда үшбұрыштарды түрлендіру – гомотетия болып табылады; бірінші жағдайда дөңгелектің центрі оның төбелерінің бірінде, үшінші жағдайда центрі үшбұрыштың ішкі нүктелерінің бірінде. Екінші жағдайда үшбұрыштарды түрлендіру түзуден созуды білдіреді.

⁵⁰ Мұнда төртбұрыштарды қақ бөлудің жеті тәсілі келтірілген.

⁵¹ Мұнда трапециядан оның үштен бірін және басқа үлестерін бөліп алудың тоғыз тәсілі және оны қақ бөлу қарастырылған.

⁵² Салу центрі шаршының центрінде болатын гомотетия болып табылады.

⁵³ Мұнда шаршыны, үшбұрышты және трапецияны екі және үш тең бөліктерге және «жол қалдыра отыра» үштен бір мен үштен екіге бөлудің бес есебі қарастырылған. Бұл жаңа телімдерге берілген енді қалдыру әдістерімен жер телімдерін  бөлу есептері. Әл Фәрәбидің салуы жолдың белгілі бір енінде ғана дұрыс.

⁵⁴ Шаршыны m²+n² тең шаршылардан салу m²+n²  =(m–n)²+2mn қатынасына негізделген.

⁵⁵  Шаршылардың қосындысына теңшамалы шаршы салудың «Геометрлер тәсілі» тікбұрышты параллелепипедтің диагоналының квадраты оның өлшемдерінің квадраттарының қосындысына тең болатын Пифагордың жалпылама теоремасына негізделген (58–ескертуді қараңыз). Геометр
әл Фәрәбидің сегізінші кітабының XXVI есебінде қолданылған салуына ұқсас, осы есепті, шаршыны үш ретке гомотетиялық ұлғайту арқылы шеше алар еді. Бұл тәсілдер қолөнершілерді қанағаттандырмайды, өйткені үш берілгендерге тең шаршылар құрастырылатындай үш шаршыға тең боларлық бөліктерге пішудің рецептін бермейді.

⁵⁶ «Қолөнершілердің тәсілі» бойынша салынған шаршының қабырғасы  тең,  кіші болады.  Әл Фәрәби осы шамаларды жуықтап мына  бөлшектермен:  және   өрнектейді.

⁵⁷ Мұнда әл Фәрәби үш тең шаршының қосындысына тең шаршы салудың керемет әдісін ұсынған. Әл Фәрәбидің пікірінше, мұндай тәсіл қолөнершілер үшін өте ыңғайлы болады, өйткені бұл тәсіл арқылы үш кіші шаршыдан бір үлкен шаршы құрастыру оңай.

⁵⁸ Мұнда әл Фәрәби үш шаршының қосындысына тең шаршы салудың «геометрлер тәсілін» егжей–тегжейлі баяндайды. Бұл есепті n шаршы жағдайында  әл Фәрәби сегізінші кітапта қолданғандай салуға ұқсас шаршыны n рет гомотетиялық үлкейту арқылы шығаруға да болады; бұл есепті Пифагор теоремасын (n–1) есе пайдаланып та шешуге болады. Мұнда «геометрлер тәсілі» жазықтықта салу емес, кеңістіктікте салу ретінде тұжырымдалғандықтан, әл Фәрәбидің «егер біз үштен көп немесе үштен аз шаршылардан тұратын шаршыны салғымыз келген кездегідей жағдайға дәл келеді» деген сөзі, шамамен көп өлшемді кубта ойша салуды меңзейді. XIII ғасырдың тарихшысы Ибн Аби Усейби өзінің «Дәрігерлер санаттары туралы мәліметтер көзідерінде» бізге дейін жетпеген әл Фәрәбидің «Қиялдағы геометрияға кіріспе» (Китаб ал–мудхал ал–хандаса ал–вахмиййа) трактаты туралы еске салады, онда кубтың көп өлшемді жалпылануына байланысты мәселелер қарастырылған болуы барынша мүмкін. Осыған байланысты ІХ–Х ғасырларда Шығыста үштен жоғары «квадрато-квадрат», «квадрато-куб», «кубо-куб» т.с.с. Диофант терминдерінің аудармасын білдіретін геометриялық дәрежелер кеңінен тараған болатын, сондықтан да,
әл Фәрәбидің осы дәрежелерді кубтың көп өлшемді жалпыламасы ретінде қабылдауы өте табиғи нәрсе екендігін ескертеміз.

  Қорытындылай келе әл Фәрәбидің көпбұрыштарды бөлу туралы есептерінің де
әл–Кинди секілді ізашары болған, оған Ибн
ан–Надимнің айтқандай бізге дейін жетпеген, «Үшбұрышты және шаршыны бөлу және оларды салу туралы трактат» (Рисала фи таксим ал–мусаллис ва–л–мұрабба ва амалхума) жататындығын айта кетейік.

⁵⁹ Евклид «Бастамалары» XIII кітабының 14–тұжырымындағы сфераға іштей сызылған дұрыс октаэдр салумен пара-пар (т.ІІІ, 124– бет).

⁶⁰ Евклид «Бастамалары» XIII кітабының 13–тұжырымындағы сфераға іштей сызылған дұрыс тетраэдр салумен пара-пар (т.ІІІ, 121– бет).

⁶¹ Шын мәнінде Евклид «Бастамалары» XIII кітабының бұрын айтылған 13–тұжырымын салумен пара-пар.

⁶² Евклид «Бастамалары» XIII кітабының 15–тұжырымындағы сфераға іштей сызылған куб салумен пара-пар (т.ІІІ, 125–бет).

⁶³ «Бастамалардың» XIII кітабындағы 15–тұжырымда айтылғандай салумен бірдей.

⁶⁴ Евклид «Бастамаларының» XIII кітабының 16–тұжырымындағы сфераға іштей сызылған икосаэдр салумен пара-пар (т.ІІІ, 127–бет).

⁶⁵ Евклид «Бастамаларының» XIII кітабының 16–тұжырымында айтылған салумен бірдей. Суретте кемістік бар.

⁶⁶ Хиджраның 321 жылының 11 раджабы – 933 жылдың 7 шілдесі.