Original text

 Rationale for training

 Visualization

[І] Үшбұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығына тең қабырғалы үшбұрышты қалай тұрғызамыз десе, онда центрлер ретінде А мен В нүктелерінің әрқайсысынан АВ қашықтықта дөңгелек сызамыз. Олар С нүктесінде қилысады. С нүктесін А және В нүктелерімен СА және СВ түзу сызықтарымен қосайық. АВС²² тең қабырғалы үшбұрышы шығады. Міне оның суреті [17 – сурет].

[17 – сурет].

 

[ІІ] Шаршы салу туралы. Егер ол АВ сызығына тең қабырғалы [және тең бұрышты] төртбұрышты қалай тұрғызамыз десе, онда А мен В нүктелерінің әрқайсысына перпендикуляр өзара тең АВ сызықтарын орнатамыз. Ол – АС мен ВD сызықтары. С мен D–ны қосып  тең қабырғалы [және тең бұрышты] ABCD²³ төртбұрышын аламыз. Міне оның суреті [18  – сурет].

[18  – сурет].

 

[ІІІ] Бесбұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығында тең қабырғалы бесбұрышты қалай тұрғызайық керек десе, онда В нүктесіне АВ–ға тең ВС перпендикулярын орнатамыз. АВ [сызығын] D нүктесінде қақ бөліп, D нүктесін центрі ретінде DC қашықтықта CE доғасын сызамыз да, АВ сызығын Е нүктесіне дейін созамыз. Сосын А мен В нүктелерінің әрқайсысын центрі ретінде алып АЕ қашықтықта доғалар сызамыз. Олар G нүктесінде қиылысады. AG және BG  сызықтарын жүргізейік. ABG үшбұрышын – бесбұрыштың үшбұрышын аламыз. Бұл көптеген салуларда қажет болады. Содан соң А мен G нүктелерін центрлер ретінде алып АВ қашықтықта доғалар сызамыз; Олар Н нүктесінде қиылысады. Сосын центрлері ретінде В мен G нүктелерінен F нүктесінде қиылысатын доғалар сызамыз.  AH, HG, GF және FB сызықтарын жүргізіп, тең қбаырғалы, тең бұрышты ABFGH²⁴ бесбұрышын аламыз. Міне оның суреті [19 – сурет].

[19 – сурет].

 

[IV] Егер ол АВ сызығына тең циркуль ашасымен ғана, оның күйі өзгермейтіндей етіп  АВ сызығына тең қабырғалы бесбұрыш тұрғыз десе, онда АВ сызығына оған перпендикуляр АВ сызығына тең ВС сызығын орнатамыз.  АВ сызығын D нүктесінде қақ бөліп, С–мен қосамыз да D нүктесін центр ретінде алып, АВ қашықтықта DC сызығында I нүктесін белгілейміз, DI–ді K нүктесінде қақ бөліп, АВ сызығын Е нүктесінде қиып өтетін K нүктесіне KE перпендикулярын тұрғызамыз. Ары қарай  А мен Е нүктелерінің әрқайсысынан центрлері ретінде АВ қашықтықта доғалар сызамыз. Олар М нүктесінде қиылысады. ВМ–ді жүргізіп, оны G–ға дейін оның бағытында созамыз да MG–ді АВ сызығына тең етеміз. А мен G –ді қосамыз. А мен G–ді центрлер ретінде қабылдап АВ қашықтықта Н нүктесін белгілейік. B мен G нүктелерін центрлер ретінде қабылдап АВ қашықтықта А нүктесін белгілейік. AH, HG, GF және FB сызықтарын жүргізейік. Тең қабырғалы AFBGH²⁵ бесбұрышы шығады. Міне оның суреті [20 – сурет].

[20 – сурет].

 

[V] Алты бұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығына тең қабырғалы және [тең бұрышты] алты бұрыш тұрғыз десе, онда ол үшін тең қабырғалы АВС үшбұрышын тұрғызамыз. АС мен ВС сызықтарын олардың бағыттарында Е мен G нүктелеріне дейін созайық. ВС–да тағы бір тең қабырғалы ВСD үшбұрышын тұрғызайық. DC сызығын оның бағытында Н нүктесіне дейін созып, СЕ, CG және СН сызықтарын СА сызығына тең етеміз де DE, EG, GH және НА сызықтарын жүргіземіз. Тең қабырғалы және тең бұрышты ABDEGH²⁶ алты бұрышы шығады. Міне оның суреті [21 – сурет].

 

[21 – сурет].

 

[VI] Жеті бұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығына тең қабырғалы жеті бұрышты тұрғыз десе, онда ВС сызығын АВ сызығына тең етіп, АС сызығына тең қабырғалы DАС үшбұрышын тұрғызамыз да бесінші тарауда көрсетілгендей АВС үшбұрышына сырттай дөңгелек сызамыз. Онда АВ сызығына тең АЕ сызығын–хорданы жүргізіп G нүктесінде АЕ–ні қақ бөлеміз, GH перпендикулярын орнатып оны дөңгелек шеңберіне дейін созамыз. АВ–ны F нүктесінде қақ бөліп, оған GH перпендикулярына тең FI перпендикулярын тұрғызайық. А, В және I нүктелері арқылы ABI дөңгелегін жүргізіп [оған] АВ доғасына тең АК, KL, LI, IM, MN және NB доғаларын саламыз. АК, KL, LI, IM, MN және NB сызықтарын жүргізейік; бұл тең қабырғалы және тең бұрышты жеті бұрыш²⁷. Міне оның суреті [22 – сурет].

[22 – сурет].

 

[VIІ] Сегіз бұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығына тең қабырғалы сегіз бұрышты қалай тұрғызу керек десе, онда АВ–ны оның бағытында С мен D нүктелеріне дейін созып А мен В нүктелерінің әрқайсысы үшін тікбұрыштың жартысына тең ЕАС және GBD бұрыштарын саламыз. АЕ және BG сызықтарының әрқайсысын АВ сызығына тең етіп алып Е мен G нүктелерінің әрқайсысынан DC сызығына ЕС және GD перпендикулярын түсіреміз де CHKD шаршысын толықтырамыз. HI, HF, KL және KM сызықтарының әрқайсысын СЕ сызығына тең етіп алып I және F,  L және M–ді қосамыз. Тең қабырғалы ABGMLFIE²⁸ сегіз бұрышы шығады. Міне оның суреті [23 сурет].

[23 сурет].

 

[VIІІ] Егер ол АВ сызығына тең циркуль ашасымен ғана, оның күйі өзгермейтіндей етіп  АВ сызығына тең қабырғалы сегіз бұрыш тұрғыз десе, онда АВ сызығына тең қабырғалы және тең бұрышты ABCD төртбұрышын тұрғызып, СА және BD сызықтарын жүргіземіз де олардың бағыттарында Е және G нүктелеріне дейін созамыз. АЕ мен BG сызықтарының әрқайсысын АВ сызығына тең етіп алып EG–ны қосамыз, EG сызығына АВ сызығына тең [EI және GM] перпендикулярларын орнатамыз да M және I–ді қосамыз. ЕІ мен GM сызықтарының әрқайсысын олардың бағыттарында К және Н нүктелеріне дейін созамыз да IMK және MIH бұрыштарының әрқайсысын MLF сызықтарымен қақ бөлеміз. ML және ІF сызықтарының әрқайсысын АВ сызығына тең етіп алып FL–ді қосайық.  Тең қабырғалы тең бұрышты ABGMLFIE²⁹ сегіз бұрышы шығады. Міне оның суреті [24 сурет].

 

[24 сурет].

 

[IX] Тоғызбұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығына тең қабырғалы және тең бұрышты тоғыз бұрыш тұрғызу керек десе, онда центрі G нүктесі болатын кез келген өлшемді  CDE дөңгелегін сызып, ондағы С нүктесін белгілеп оны центр ретінде қабылдайық та дөңгелектен жарты диаметрлік қашықтықта Е мен D нүктелерін белгілейік. DE доғасын тең үш бөлікке бөлейік. Сондай доғаның бірі EH болсын. EG, EH және HG сызықтарын жүргізіп, EG мен HG сызықтарының арасында АВ сызығына тең және ЕН сызығына параллель FI сызығын саламыз. А мен В нүктелерін центр ретінде қабылдап FG қашықтықта К нүктесінде қиылысатын дөңгелектер сызайық. К нүктесін центр ретінде қабылдап KА қашықтықта ABL дөңгелегін сызамыз. ABL доғасын тең сегіз бөлікке бөліп, олардың бөліну нүктелерін хордалармен қосайық. АВ³⁰ сызығында тең қабырғалы және тең бұрышты тоғыз бұрыш шығады. Міне оның суреті [25 – сурет].

                      

 

[25 – сурет].

 

[X] Он бұрышты салу туралы. Егер ол АВ сызығына он бұрышты қалай тұрғызу керек десе, онда АВ сызығын С нүктесінде қақ бөліп В нүктесіне АВ сызығына тең ВD перпендикулярын орнатамыз. С нүктесін центр ретінде қабылдап АВ сызығында CD қашықтықта Е–ні белгілейміз. Ары қарай А мен В нүктелерінің әрқайсысынан центрлер ретінде АЕ қашықтықта G нүктесінде қиылысатын екі доға сызайық. G нүктесін қабырғасы АВ сызығы болып келген он бұрышқа  іштей сызылған дөңгелектің центрі ретінде қабылдаймыз. Ендеше, егер біз G центрі бар AG қашықтықта ABHF дөңгелегін сызып алып, AG мен GB сызықтарын олардың бағыттарында дөңгелектің шеңберіне дейін F пен H нүктелеріне дейін созсақ, АН пен BF доғаларын тең төрт бөлікке бөліп хордалармен қоссақ онда тең қабырғалы және тең бұрышты он бұрышты аламыз³¹. Міне оның суреті [26 – сурет].

 

 

[26 – сурет].

 

[ХІ] Егер ол АВ сызығына тең циркуль ашасымен ғана, АВ сызығына тең қабырғалы тең бұрышты он бұрышты тұрғызу керек десе, онда оған жоғарыда төртінші ұсыныста көрсетілгендей бесбұрыштың үшбұрышын тұрғызамыз. G нүктесі АВ сызығына қарсы жатқан бұрыштың [төбесі] болсын. A және G, B және G сызықтарын қосамыз. G нүктесін  центр ретінде қабылдап, АВ қашықтықта CDFH дөңгелегін сызайық. AG, BG сызықтарын олардың бағытында дөңгелектің шеңберіне дейін [F және C нүктелеріне дейін] созайық. HF және DC доғаларының әрқайсысын тең төрт бөлікке бөліп, FI, IK, KM, MH, CL, LN, NX, XD бөліктерін аламыз. GF, GI, GK, GM, [GL], GN, GX, [GC], GH сызықтарын жүргіземіз де CDH дөңгелегінің центрінен шығатын осы сызықтардың әрқайсысында AD сызығына тең сызықтарды қосамыз. Бұл соңында О тұрған сызықтар. Оларды өзара және А мен В нүктелерімен түзу сызықтармен қосайық. Тең қабырғалы тең бұрышты АВО³² шығады. Міне оның суреті [27 – сурет].

[27 – сурет].